La compréhension mathématique est décisive pour le citoyen du 21e siècle, dans la sphère personnelle comme professionnelle. Elle intervient dans la lecture de graphiques et l’interprétation de statistiques tout comme dans la rigueur des raisonnements et l’exercice de l’esprit critique. Dans un contexte de résultats préoccupants aux évaluations nationales et internationales, tant pour le niveau en mathématiques que pour le poids de l’origine sociale, ce texte cible les structures multiplicatives se focalisant sur la multiplication, la division et les fractions. Moins étudiées que les structures additives, les structures multiplicatives font partie du socle des connaissances arithmétiques tout en constituant des prérequis au développement de compétences mathématiques ultérieures.
Ces connaissances sont de nature conceptuelles (les principes mathématiques en jeu) et procédurales (les algorithmes de résolution). Connaissances conceptuelles et procédurales, bien que distinctes, sont intriquées et se construisent ensemble. Ainsi, mettre en œuvre une stratégie de résolution dans des contextes appropriés dépend de connaissances conceptuelles. Les connaissances conceptuelles des élèves s’appuient sur des intuitions initiales, issues d’expériences extra scolaires, avec lesquelles ils abordent les notions enseignées.
Ces conceptions intuitives ont l’intérêt majeur d’offrir un sens aux notions rencontrées et l’inconvénient d’être trompeuses dans certains contextes. Un enjeu crucial pour la progression des élèves est de prendre appui sur les conceptions intuitives pour rencontrer progressivement le sens mathématique.
Alors que les conceptions intuitives de la multiplication, de la division et des fractions sont respectivement l’addition itérée, le partage équitable et la structure bipartite composée du couple «numérateur, dénominateur», il s’agit de favoriser un nouveau codage des situations rencontrées par les élèves pour ouvrir la possibilité de développer une expertise adaptative conduisant à mobiliser la stratégie la plus appropriée au contexte rencontré, en s’appuyant sur les propriétés mathématiques. Des activités de comparaison entre situations avec le recours à des représentations figurées constituent des aides pour accompagner ce recodage et initier la perception de principes mathématiques occultés par les conceptions intuitives.
Ainsi, le rectangle constitue une modélisation de la multiplication et de la division. Pour développer les conceptions de la multiplication, un schéma qui met l’accent sur le rapport entre les éléments en présence peut aussi être mobilisé, qui ne souffre pas des mêmes limites que celui de l’addition répétée. Il permet de faire usage de manière flexible des tables de multiplication, dont l’automatisation, favorisée par des tâches de production, est cruciale pour libérer les ressources cognitives pour des apprentissages plus complexes. Le schéma «partitif» intuitif de division est présent précocement chez les élèves mais sans que les pro‑
priétés mathématiques pertinentes associées le soient également. La division gagne à être travaillée dans des contextes de quotition (combien de groupes de? ou combien de fois ?) qui n’offrent pas les mêmes contraintes conceptuelles que les situations de partage.
Les fractions sont l’objet de difficultés importantes d’apprentissage, qui prennent leur source dans la conception bipartite, selon laquelle numérateur et dénominateur sont traités comme deux nombres indépendants. En outre, des représentations traditionnellement mobilisées telles qu’un nombre de parts (qui forme le numérateur) sur une totalité découpée en parts (dont le nombre forme le dénominateur) offrent une conception seulement partielle.
Une diversité de conceptions telles que la partie d’un tout non unitaire, le quotient d’une division, la position d’un point sur la droite numérique, peuvent toutes être soutenues par des représentations figurées et des activités destinées à leur donner sens. Elles constituent autant de points de vue que l’élève peut apprendre à mobiliser en situation pour développer son expertise des fractions et se préparer aussi à des apprentissages ultérieurs.
